[확률 및 통계] 2. 순열과 조합
Total Probability :
{ A1, A2 …. , An } -> partition of S (샘플 스페이스 전체의 파티션이다)
- Independent
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
- P(A∩B) = P(A)P(B)
- Combinatorial Analysis
- Permutation ( 순열 ) : 서로 다른 n개를 일렬로 나열하는 것. Line arrangement of n different objects
(순서를 고려해야한다)
- Group Permutation : 중복이 있는 것의 수열.
N = N1 + N2 + …. Nk
Ex) 10개의 공 = 빨강 5개 + 흰색 3개 + 파랑 2개
중복이 있는 것들의 팩토리얼만큼 나눠준다
- 조합의 개념과도 이어진다
- Circular Permutation (원순열)
(조금 더 심화한 문제. 어떻게 중복이 되는 지와 자리 모양을 살펴봐야한다)
- Combination (조합)
= Select r objects out of n ones. nCr
순열과의 다른 점: 순서가 필요 없다!
[ 외워두면 좋을 공식 ]
전체 n+m명이 있을 때 (남 : n, 여: m) 남녀 각각 0~r명까지 뽑는 경우의 수라고 보면 된다
(배반사건의 합) -> 이항정리와 연결된다
- Binomial Theorem
이항정리의 기본 공식
이를 응용하여 2^(n-1) 등을 구할 수 있다.
중요한 것은 미분을 해서 얻어지는 식이다
이것이 중요한 이유는 이 유도로 인해 이항분포 평균, 분산 유도식이 얻어진다
이항분포의 평균 = np
분산 = np(1-p)
이 둘을 구할 때 위의 식을 이용해야 한다
- 멱급수
등비급수로 쉽게 f(x)를 구할 수 있다
즉, 멱급수를 구할 때 g(x)를 정의해서 미분을 이용해 구하는 방법도 있다.
이를 평균과 분산을 구할 때 사용한다!
- Stirling's formula
= n!를 계산할 때 n이 커지면 계산이 힘들어진다. n!에 대한 대략적인 추정식이다
- Reliability
= Duration of useful functioning of system
시스템의 시작 시점부터 t라는 시간까지의 시스템이 얼마나 유효한지 확률적으로 표현한 것.
어느 시점에서 고장나는 지는 모른다. (단지 확률일 뿐)
Ex) Cascade 시스템(Series connection)에서의 Reliability
전체 시스템의 Reliability.
=
- Assume that all modules are independent
- 프로그램 작성 시에도 각 블록마다 독립적으로 만들어야 한다( 객체지향 )
Cf. 병렬 연결 (parallel connection)
전체 시스템이 동작할 확률 = 적어도 1개 이상의 모듈이 작동할 확률
Ex)
- C3가 동작할 때 (Rx)
- C3가 동작하지 않을 때 (Ry)
- 전체 R
동작할 경우 : (1,4) / (2,5) / (1,3,5) …. / (1,2,3,4,5)